Asintoti di una funzione — esercizi svolti con passaggi
I tre tipi di asintoto
Gli asintoti descrivono il comportamento della funzione agli estremi del dominio o nei punti di discontinuità infinita. Trovare gli asintoti è uno dei passi centrali nello studio di funzione.
Quando usare quale metodo
- Asintoto verticale: calcola il limite di f(x) nei punti esclusi dal dominio dove il denominatore si annulla
- Asintoto orizzontale: calcola lim f(x) per x→+∞ e per x→−∞; se il risultato è finito, è y = L
- Asintoto obliquo: esiste solo se lim f(x)/x = m finito e non nullo per x→±∞; poi calcola q = lim[f(x) − mx]
Esercizio 1 — Asintoto verticale e orizzontale
Traccia: Trova gli asintoti della funzione
f(x) = (2x + 3) / (x − 1)
Passo 1 — Dominio
Il denominatore si annulla per x = 1, quindi:
Passo 2 — Asintoto verticale
Calcola il limite per x → 1 da destra e da sinistra:
Asintoto verticale: x = 1 (il grafico sale a +∞ da destra e scende a −∞ da sinistra).
Passo 3 — Asintoto orizzontale
Calcola il limite per x → ±∞ (grado numeratore = grado denominatore = 1):
Asintoto orizzontale: y = 2 (lo stesso valore per x→+∞ e x→−∞).
Passo 4 — Verifica con la forma equivalente
La forma 2 + 5/(x−1) conferma: per x→±∞ si ha 5/(x−1)→0, quindi f(x)→2. Per x→1 si ha 5/(x−1)→±∞, quindi asintoto verticale x=1. Non esiste asintoto obliquo (i gradi di numeratore e denominatore sono uguali).
Riepilogo: asintoto verticale x = 1, asintoto orizzontale y = 2.
Esercizio 2 — Asintoto obliquo
Traccia: Trova gli asintoti della funzione
f(x) = (x² − x + 2) / (x + 1)
Passo 1 — Dominio
Passo 2 — Asintoto verticale
Asintoto verticale: x = −1.
Passo 3 — Ricerca asintoto obliquo
Il grado del numeratore (2) supera di 1 il grado del denominatore (1): possibile asintoto obliquo.
Asintoto obliquo: y = x − 2.
Passo 4 — Verifica con la divisione polinomiale
Per x→±∞ si ha 4/(x+1)→0, quindi f(x)→(x−2), confermando l'asintoto obliquo y = x − 2.
Riepilogo: asintoto verticale x = −1, asintoto obliquo y = x − 2.
Esercizio 3 — Due asintoti verticali e orizzontale y = 0
Traccia: Trova tutti gli asintoti della funzione
f(x) = (x + 1) / (x² − 4)
Passo 1 — Dominio
Passo 2 — Due asintoti verticali
Fattorizza il denominatore: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
Asintoti verticali: x = 2 e x = −2.
Passo 3 — Asintoto orizzontale
Il grado del numeratore (1) è inferiore al grado del denominatore (2):
Asintoto orizzontale: y = 0 (l'asse delle x).
Passo 4 — Esclusione asintoto obliquo
Riepilogo: asintoti verticali x = 2 e x = −2, asintoto orizzontale y = 0. Nessun asintoto obliquo.
Errori comuni
- Dimenticare il segno del limite laterale: per l'asintoto verticale è necessario calcolare il limite sia da destra sia da sinistra — i segni possono essere opposti (uno +∞, uno −∞).
- Cercare asintoto obliquo quando grado(p) = grado(q): se numeratore e denominatore hanno lo stesso grado, l'asintoto è orizzontale (non obliquo), e si ottiene con il rapporto dei coefficienti principali.
- Confondere q con m nel calcolo dell'asintoto obliquo: si calcolano in due passi separati: prima m = lim f(x)/x, poi q = lim[f(x) − mx].
- Considerare asintoto verticale un punto in cui il denominatore si annulla e il numeratore pure: in quel caso il limite può essere finito. Verificare se il fattore si semplifica prima di concludere.
Domande frequenti
Quando esiste un asintoto verticale?
Un asintoto verticale x = c esiste quando il limite di f(x) per x che tende a c (da destra o da sinistra) è ±∞. Ciò accade tipicamente nei punti esclusi dal dominio dove il denominatore si annulla e il numeratore no. Non basta che il denominatore si annulli: se anche il numeratore si annulla, il limite potrebbe essere finito (o la funzione si semplifica).
Come si distingue un asintoto orizzontale da uno obliquo?
Per una funzione razionale f(x) = p(x)/q(x): se grado(p) < grado(q) esiste asintoto orizzontale y = 0; se grado(p) = grado(q) esiste asintoto orizzontale y = rapporto dei coefficienti principali; se grado(p) = grado(q) + 1 esiste asintoto obliquo trovato con la divisione polinomiale; se grado(p) ≥ grado(q) + 2 non esistono asintoti obliqui né orizzontali.
Il grafico può toccare o attraversare un asintoto orizzontale?
Sì. Un asintoto orizzontale descrive il comportamento della funzione per x → ±∞, non impone che la funzione non tocchi mai la retta y = L. In molti casi il grafico interseca l'asintoto orizzontale per x finiti e poi se ne allontana per x grandi.
Come si verifica un asintoto obliquo trovato?
Dopo aver calcolato m e q con i limiti, verifica: m = lim[f(x)/x] e q = lim[f(x) − mx] devono dare valori finiti. In alternativa, per funzioni razionali usa la divisione polinomiale: f(x) = (mx + q) + r(x)/q(x) dove r/q → 0 per x → ±∞. Se la divisione dà esattamente mx + q con resto r non nullo di grado minore di q(x), y = mx + q è l'asintoto obliquo.