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Algebra lineare

Autovalori e autovettori

Un autovalore λ di una matrice A è uno scalare per cui esiste un vettore non nullo v tale che Av = λv. Il calcolatore costruisce il polinomio caratteristico det(A − λI), ne trova le radici reali e per ciascun autovalore ricava un autovettore dallo spazio nullo di A − λI.

Autovalori e autovettori

Polinomio caratteristico, autovalori reali e un autovettore per ciascun autovalore.

Prova:
Risultatoλ1 = 5, λ2 = 2; λ=5 → v=(0.707107, 0.707107); λ=2 → v=(-0.447214, 0.894427)
  1. Matrice A2×2 [[4, 1], [2, 3]]
  2. Polinomio caratteristicodet(A − λI) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − 7·λ + 10
  3. Autovaloriλ1 = 5, λ2 = 2
  4. Autovettoreλ = 5: v = (0.707107, 0.707107)
  5. Autovettoreλ = 2: v = (-0.447214, 0.894427)
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Esempi svolti

Autovalori e autovettori di [[4, 1], [2, 3]] Trova gli autovalori dal polinomio caratteristico e un autovettore per ciascuno.

Scopri perché funziona

Eigenvalues and Eigenvectors: Intuition Directions preserved by a transformation — intuition and proof → Matrices as Linear Transformations The geometric foundation behind eigenvectors →

Domande frequenti

Che cos'è il polinomio caratteristico?

p(λ) = det(A − λI). Le sue radici sono gli autovalori di A. Per una matrice n×n ha grado n.

Perché potrebbero non comparire autovalori reali?

Le rotazioni e altre matrici reali possono avere autovalori puramente complessi. Questo calcolatore riporta solo le radici reali; se non ce ne sono, lo segnala esplicitamente.

E se l'autospazio è di dimensione maggiore di uno?

Il calcolatore restituisce un autovettore rappresentativo per ciascun autovalore. Quando un autovalore è ripetuto, l'autospazio può contenere più autovettori indipendenti di quelli mostrati.

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