Esercizi sullo studio di funzione
Sei esercizi svolti passo per passo — uno per ogni tipo di funzione che compare più spesso nelle verifiche e agli esami: razionale fratta, polinomiale, irrazionale, logaritmica, esponenziale e con valore assoluto. Ogni esercizio segue lo stesso schema operativo sistematico usato in classe.
Come si studia una funzione: schema operativo
Lo studio di funzione è un'analisi in passi obbligati, sempre nello stesso ordine. Saltare un passo o cambiarne l'ordine può portare a errori nel grafico finale.
- Dominio — Trovare l'insieme dei valori di x per cui f(x) è definita (denominatori ≠ 0, argomenti di radici ≥ 0, argomenti di logaritmi > 0).
- Simmetrie — Verificare se f è pari (f(−x)=f(x)), dispari (f(−x)=−f(x)) o nessuna delle due.
- Intersezioni con gli assi — Asse y: calcolare f(0) se 0∈D. Asse x: risolvere f(x)=0.
- Segno — Studiare dove f(x)>0 e dove f(x)<0 (utile per il grafico).
- Limiti e asintoti — Limiti agli estremi del dominio (finiti e infiniti). Classificare gli asintoti: verticali, orizzontali, obliqui.
- Derivata prima — Calcolare f′(x). Trovare i punti critici (f′=0 o f′ non esiste). Studiare il segno di f′ per determinare la monotonia (crescente/decrescente) e classificare massimi e minimi locali.
- Derivata seconda — Calcolare f″(x). Trovare i punti di flesso (f″=0 con cambio di segno). Determinare la concavità (verso l'alto se f″>0, verso il basso se f″<0).
- Grafico qualitativo — Disegnare il grafico raccogliendo tutte le informazioni precedenti.
Checklist prima di consegnare
- ✓ Dominio scritto con la notazione corretta (es. ℝ\2)
- ✓ Verificato se il dominio è simmetrico rispetto all'origine (per parità/disparità)
- ✓ Limiti calcolati per ogni estremo del dominio e per ogni punto di discontinuità
- ✓ Asintoti verticali, orizzontali e obliqui identificati
- ✓ Segno di f′ e tabella dei segni compilata
- ✓ Massimi e minimi classificati con coordinate complete
- ✓ Flessi verificati con cambio di segno di f″
- ✓ Grafico coerente con tutti i dati trovati
Esercizi svolti
f(x) = (x²−1) / (x−2) Asintoti obliqui, polo, derivate e monotonia. Funzione polinomiale f(x) = x³ − 3x + 2 Radici, massimo, minimo e flesso di un polinomio cubico. Funzione irrazionale f(x) = √(x²−1) Dominio, funzione pari, asintoti obliqui. Funzione logaritmica f(x) = ln((x+1)/(x−1)) Funzione dispari, asintoti verticali e orizzontali. Funzione esponenziale f(x) = x · e⁻ˣ Massimo assoluto, flesso e asintoto orizzontale. Funzione con valore assoluto f(x) = |x²−1| Derivata a tratti, funzione pari, estremi e concavità. Domande frequenti
Cos'è lo studio di funzione?
Lo studio di funzione è un'analisi sistematica di tutte le proprietà di una funzione reale: dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi, segno, limiti, asintoti, derivabilità, monotonia, estremi locali, concavità e flessi. Il risultato finale è un grafico qualitativo preciso.
In che ordine si svolge lo studio di funzione?
L'ordine standard è: 1) dominio; 2) parità o disparità; 3) intersezioni con gli assi; 4) segno; 5) limiti agli estremi del dominio e asintoti; 6) derivata prima (monotonia ed estremi); 7) derivata seconda (concavità e flessi); 8) grafico qualitativo.
Come si trovano gli asintoti obliqui?
Un asintoto obliquo y = mx + q esiste se il limite di f(x)/x per x→±∞ è un numero finito m ≠ 0, e in quel caso q = lim[f(x) − mx]. Per le funzioni razionali fratte si ottiene con la divisione polinomiale.
Quando una funzione è pari o dispari?
Una funzione è pari se f(−x) = f(x) per ogni x nel dominio (grafico simmetrico rispetto all'asse y). È dispari se f(−x) = −f(x) (grafico simmetrico rispetto all'origine). La verifica richiede che il dominio sia simmetrico rispetto all'origine.
Cosa sono i flessi?
I flessi sono i punti in cui il grafico di f cambia concavità (da concava verso l'alto a concava verso il basso, o viceversa). Si trovano annullando la derivata seconda f''(x) = 0 e verificando che f'' cambi segno in quel punto.