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Limiti · 5° liceo

Limiti con forme indeterminate — esercizi svolti

Le sette forme indeterminate

0/0 ∞/∞ ∞−∞ 0·∞ 1^∞ 0^0 ∞^0

Quando sostituendo direttamente si ottiene una di queste forme, non si può concludere nulla sul valore del limite. Bisogna applicare una tecnica per trasformare l'espressione in una forma determinata.

Prerequisiti

  • Saper calcolare limiti semplici (limite di polinomio, limite di funzione razionale)
  • Saper fattorizzare polinomi (differenza di quadrati, trinomio notevole)
  • Conoscere i limiti notevoli fondamentali (utili negli esercizi avanzati)

Esercizio 1 — Forma 0/0 con fattorizzazione

Traccia: Calcola

lim (x→2) (x² − 4) / (x − 2)

Verifica della forma indeterminata

Sostituzione diretta x=2: (4−4)/(2−2) = 0/0 → forma indeterminata

Fattorizzazione del numeratore

x² − 4 = (x − 2)(x + 2) (differenza di quadrati)

Semplificazione e calcolo del limite

lim (x→2) (x−2)(x+2) / (x−2) = lim (x→2) (x+2) = 4

Risultato: lim (x→2) (x²−4)/(x−2) = 4

Nota: il fattore (x−2) si semplifica perché x≠2 (ci si avvicina a 2, non ci si arriva).

Esercizio 2 — Forma ∞/∞ con grado dominante

Traccia: Calcola

lim (x→∞) (3x² + x) / (x² − 5)

Verifica della forma indeterminata

x→∞: numeratore → ∞, denominatore → ∞ → forma ∞/∞

Raccoglimento del termine di grado massimo

(3x² + x) / (x² − 5) = x²(3 + 1/x) / x²(1 − 5/x²) = (3 + 1/x) / (1 − 5/x²)

Calcolo del limite

lim (x→∞) (3 + 1/x) / (1 − 5/x²) = (3 + 0) / (1 − 0) = 3

Risultato: lim (x→∞) (3x²+x)/(x²−5) = 3

La regola pratica: per una funzione razionale, il limite all'infinito è il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo (3/1 = 3).

Esercizio 3 — Forma ∞−∞ con coniugato

Traccia: Calcola

lim (x→∞) (√(x² + x) − x)

Verifica della forma indeterminata

x→∞: √(x²+x) → ∞ e x → ∞ → forma ∞−∞

Moltiplicazione per il coniugato

(√(x²+x) − x) · (√(x²+x) + x) / (√(x²+x) + x) Numeratore: (x²+x) − x² = x

Semplificazione

= x / (√(x²+x) + x) = x / (x·√(1 + 1/x) + x) = 1 / (√(1 + 1/x) + 1)

Calcolo del limite

lim (x→∞) 1 / (√(1+1/x) + 1) = 1 / (√1 + 1) = 1/2

Risultato: lim (x→∞) (√(x²+x) − x) = 1/2

Errori comuni

  • Concludere che 0/0 = 0 o 0/0 = 1: la forma 0/0 è indeterminata, non ha un valore prefissato.
  • Applicare De l'Hôpital senza verificare la forma: De l'Hôpital vale SOLO per 0/0 e ∞/∞, non per altre forme.
  • Semplificare (x−a) senza spiegare il passaggio: scrivere "si cancella (x−2)" senza la nota che x≠2 è impreciso formalmente.
  • Sbagliare il prodotto per il coniugato: (a−b)(a+b) = a²−b², non a²+b².

Domande frequenti

Cos'è una forma indeterminata?

Una forma indeterminata è un'espressione che, sostituendo direttamente il valore limite, dà un risultato senza significato come 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0·∞, 1^∞, 0^0, ∞^0. Non significa che il limite non esiste: bisogna applicare tecniche appropriate per trovare il valore reale.

Quando si usa la regola di De l'Hôpital?

Si usa la regola di De l'Hôpital solo per le forme 0/0 e ∞/∞. La regola afferma che se il limite di f(x)/g(x) è in forma indeterminata 0/0 o ∞/∞, allora il limite è uguale a quello di f'(x)/g'(x). Attenzione: si deriva numeratore e denominatore separatamente, NON si applica la regola del quoziente.

Come si risolve la forma ∞−∞?

Per la forma ∞−∞ si cerca di ricondursi a 0/0 o ∞/∞. Con funzioni razionali si raccoglie il termine di grado massimo. Con espressioni irrazionali si moltiplica per il coniugato. Con logaritmi si usa la linearizzazione.

La forma 0/0 significa sempre che il limite non esiste?

No. La forma 0/0 è indeterminata: il limite può essere qualsiasi numero reale, oppure ±∞, oppure non esistere. Bisogna applicare la tecnica appropriata (fattorizzazione, limiti notevoli, De l'Hôpital) per trovare il valore effettivo.

Approfondimenti e strumenti

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