Problemi di matematica svolti
92 problemi con soluzione completa passo passo. Ogni problema è risolto dallo stesso motore degli strumenti interattivi — ogni passaggio è generato, non scritto a mano.
Algebra
Risolvi x² − 3x + 2 = 0 Risolvi un'equazione di secondo grado calcolando il discriminante e applicando la formula risolutiva. Risolvi 2x² + 5x − 3 = 0 Risolvi un'equazione di secondo grado con coefficiente direttivo diverso da 1. Risolvi x² + 4 = 0 Risolvi un'equazione di secondo grado che ha radici complesse coniugate. Risolvi 3x + 7 = 22 Isola l'incognita in un'equazione lineare passo passo. Risolvi 2x − 9 = 5 Risolvi un'equazione lineare con sottrazione nel primo membro. Trova la pendenza della retta per (2, 3) e (5, 9) Calcola pendenza, intercetta ed equazione della retta passante per due punti. Distanza tra (1, 2) e (4, 6) Usa la formula della distanza per trovare la lunghezza tra due punti. Trova il 20º termine di 3, 7, 11, 15, … Usa la formula dell'n-esimo termine per una progressione aritmetica con primo termine 3 e ragione 4. Somma dei primi 8 termini di 2, 6, 18, 54, … Usa la formula della somma parziale per una progressione geometrica di ragione 3. Calcola log₂(64) Usa la formula del cambio di base per calcolare un logaritmo in base 2. Fattorizza x² − 5x + 6 Scomponi un trinomio di secondo grado nel prodotto di due binomi. Risolvi 2x + 3 < 7 Risolvi una disequazione lineare e scrivi la soluzione come intervallo. Risolvi x² − 5x + 6 ≤ 0 Risolvi una disequazione di secondo grado usando le radici e la tabella dei segni. Semplifica (x + 1)(x − 2) + x² Sviluppa il prodotto e raccogli i termini simili. Fratti semplici di 1/(x² − 5x + 6) Decomponi una funzione razionale in una somma di frazioni più semplici.
Trigonometria
Calcola sin(30°) Converti l'angolo in radianti e calcola il seno. Calcola cos(60°) Converti l'angolo in radianti e calcola il coseno. Calcola tan(45°) Calcola la tangente di un angolo notevole. Risolvi il triangolo rettangolo con cateti 5 e 12 Trova l'ipotenusa con il teorema di Pitagora e i due angoli acuti con l'arcotangente. Trova l'ipotenusa con cateti 6 e 8 Applica a² + b² = c² per trovare l'ipotenusa mancante. Trova il cateto mancante con c = 13 e un cateto 5 Riscrivi a² + b² = c² per risolvere il cateto incognito. Teorema del coseno: a = 7, b = 10, C = 60° Usa il teorema del coseno per trovare il terzo lato e gli altri due angoli. Teorema dei seni: A = 30°, B = 60°, a = 10 Trova il terzo angolo e i due lati restanti con il teorema dei seni. Converti 180° in radianti Converti i gradi in radianti e trova l'angolo di riferimento e il quadrante. Converti π/3 rad in gradi Converti una misura in radianti in gradi e indica l'angolo di riferimento. Risolvi sin(x) = 1/2 Trova tutte le soluzioni di un'equazione trigonometrica, con la soluzione generale. Risolvi tan(x) = 1 Risolvi un'equazione con la tangente ed esprimi la soluzione generale. Converti (3, 4) in coordinate polari Trova il raggio e l'angolo di un punto dato in coordinate cartesiane.
Analisi matematica
Trova la derivata di x³ Applica la regola della potenza per derivare un singolo termine. Trova la derivata di 3x² − 5x + 2 Deriva un polinomio quadratico termine per termine. Calcola ∫ (2x + 3) dx Applica la regola della potenza inversa per calcolare un integrale indefinito. Calcola ∫₀³ x² dx Calcola un integrale definito con il teorema fondamentale del calcolo. Trova la derivata di eˣ in x = 0 Usa una derivata numerica per confermare che la derivata dell'esponenziale in 0 è 1. Calcola lim x→0 sin(x)/x Il limite classico alla base della derivata della funzione seno. Calcola lim x→1 (x² − 1)/(x − 1) Una discontinuità eliminabile — scomponi e semplifica, oppure campiona da entrambi i lati. Trova la retta tangente a y = x² in x = 3 Calcola f(a) e f'(a) e costruisci l'equazione della retta tangente. Calcola ∫₀^π sin(x) dx Approssima l'area sotto un'intera arcata positiva della curva del seno. Trova la derivata di sin(x)·x² in x = 1 Usa una derivata numerica alle differenze centrali su un prodotto trigonometrico-polinomiale. Deriva x³ − 3x Applica la regola della potenza termine per termine per trovare la derivata. Integra 2x + 1 Trova l'integrale indefinito con la regola della potenza inversa. Retta tangente a y = x² in x = 2 Trova l'equazione della retta tangente in un punto dato.
Precalcolo
Sviluppa (x + 1)⁵ Applica il teorema del binomio con esponente intero 5. Sviluppa (2x − 1)³ Applica il teorema del binomio con coefficiente direttivo diverso da 1. Calcola le permutazioni 7P3 Conta il numero di disposizioni ordinate di 3 oggetti scelti da 7. Calcola le combinazioni 10C4 Conta il numero di selezioni non ordinate di 4 oggetti su 10. Moltiplica (3 + 2i)·(1 − i) Usa il metodo FOIL e i² = −1 per moltiplicare due numeri complessi. Dividi (1 + i) / (1 − i) Moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato per dividere due numeri complessi. Dividi (x³ − 1) per (x − 1) La divisione di polinomi mostra che x − 1 è un fattore di x³ − 1. Risolvi 2ˣ = 32 Usa i logaritmi per isolare l'incognita all'esponente. Risolvi 3ˣ = 27 Un'equazione esponenziale che si riduce a un esponente intero. Sviluppa (3x + 2)⁴ Applica il teorema del binomio con entrambi i coefficienti maggiori di 1. Trova l'inversa di f(x) = 2x + 3 Scambia x e y e risolvi per trovare la funzione inversa. Componi f(x) = x² e g(x) = x + 1 Costruisci la composizione (f ∘ g)(x) per sostituzione. Equazione della circonferenza di centro (0, 0) e raggio 5 Scrivi l'equazione standard e sviluppata di una circonferenza. Proprietà dell'ellisse x²/25 + y²/9 = 1 Trova centro, fuochi ed eccentricità di un'ellisse.
Statistica
Media, mediana e moda di {2, 4, 4, 6, 8} Calcola le misure di tendenza centrale di un piccolo insieme di dati con un valore ripetuto. Deviazione standard di {1, 2, 3, 4, 5} Trova le deviazioni standard di popolazione e campionarie di un insieme di dati uniforme. Punteggio z per x = 85, μ = 70, σ = 10 Standardizza un singolo valore in unità di deviazione standard. P(X ≤ 115) per il QI con μ = 100, σ = 15 Trova la probabilità cumulata per una distribuzione normale che modella i punteggi di QI. Intervallo di confidenza al 95% — x̄ = 50, s = 8, n = 40 Costruisci un intervallo di confidenza al 95% attorno alla media campionaria. Regressione lineare per (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 6) Adatta la retta dei minimi quadrati e riporta il coefficiente di correlazione r. Punteggio z per x = 72, μ = 80, σ = 4 Un punteggio z negativo colloca il valore due deviazioni standard sotto la media. Media di {10, 20, 30, 40, 50} Calcola la media di un insieme di dati equispaziati. Intervallo di confidenza al 99% — x̄ = 120, s = 15, n = 100 Un campione più ampio e un livello di confidenza più alto — cosa cambia? P(Z ≤ 1,96) per la normale standard Il classico valore critico che lascia circa il 97,5% della massa della normale standard a sinistra. Probabilità binomiale: P(X = 5) per n = 10, p = 0,5 Calcola una probabilità puntuale binomiale e le code cumulate. Probabilità di Poisson: P(X = 2) con λ = 3 Calcola una probabilità puntuale di Poisson e le sue code cumulate. Teorema di Bayes: probabilità di malattia dato un test positivo Aggiorna una bassa incidenza con un test positivo usando il teorema di Bayes. Test z per una proporzione: p̂ = 0,58, n = 200 Confronta una proporzione campionaria con p₀ = 0,5 con un test z a due code.
Algebra lineare
Determinante di [[3, 1], [4, 2]] Applica la formula 2×2 det = ad − bc. Determinante della matrice 3×3 [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]] Usa lo sviluppo per cofattori lungo la prima riga. Moltiplica [[1, 2], [3, 4]] · [[5, 6], [7, 8]] Combina le righe di A con le colonne di B per calcolare il prodotto. Inversa di [[4, 7], [2, 6]] Verifica che il determinante sia diverso da zero e applica la formula dell'inversa 2×2. Inversa di [[2, 1, 1], [1, 3, 2], [1, 0, 0]] Usa l'eliminazione di Gauss-Jordan sulla matrice ampliata [A | I]. Somma [[1, 2], [3, 4]] + [[5, 6], [7, 8]] Somma due matrici della stessa forma elemento per elemento. Prodotto scalare (1, 2, 3) · (4, 5, 6) Moltiplica le componenti corrispondenti e somma per trovare il prodotto scalare. Prodotto vettoriale (1, 0, 0) × (0, 1, 0) Due vettori della base canonica danno il terzo tramite la regola della mano destra. Modulo del vettore (3, 4) Il teorema di Pitagora dà la lunghezza di un vettore 2D. Angolo tra (1, 0) e (1, 1) Usa il prodotto scalare per trovare l'angolo tra due vettori 2D. Trasposta di [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] Scambia righe e colonne di una matrice 2×3. Autovalori e autovettori di [[4, 1], [2, 3]] Trova gli autovalori dal polinomio caratteristico e un autovettore per ciascuno. Risolvi 2x + y = 5, x + 3y = 10 Risolvi un sistema lineare 2×2 con l'eliminazione di Gauss-Jordan. Proietta (3, 4) su (1, 0) Trova la proiezione vettoriale e la componente perpendicolare.
Matematica finita
Interesse composto su 1000 $ al 5% per 10 anni Trova il capitale finale con capitalizzazione mensile. Interesse semplice su 1000 $ al 5% per 3 anni Trova l'interesse e il capitale finale con la formula I = Prt. Rata mensile di un mutuo di 200.000 $ al 5% per 30 anni Trova la rata costante e gli interessi totali di un prestito ammortizzato. Stato stazionario di una catena di Markov a due stati Itera la distribuzione e risolvi per il vettore stazionario. Massimizza 5x + 4y con vincoli lineari Risolvi un problema di programmazione lineare a due variabili con il metodo grafico. Tabella di verità: (p → q) ↔ (¬q → ¬p) Costruisci una tabella di verità per verificare che un condizionale e la sua contronominale siano equivalenti.