Derivate di funzioni composte — esercizi svolti con passaggi
La regola della catena
Per derivare una funzione composta f(g(x)) si usa la regola della catena:
Ovvero: si deriva la funzione esterna (lasciando invariata la funzione interna) e si moltiplica per la derivata della funzione interna.
Prerequisiti
- Conoscere le derivate fondamentali: (xⁿ)′, (sin x)′, (cos x)′, (eˣ)′, (ln x)′
- Saper identificare la funzione esterna e quella interna in una composizione
- Conoscere la regola di derivazione di prodotto e quoziente (utile negli esercizi avanzati)
Esercizio 1 — Base
Traccia: Calcola la derivata di
f(x) = sin(3x)
Identificazione delle funzioni
Applicazione della regola della catena
Risultato: f′(x) = 3 cos(3x)
Esercizio 2 — Intermedio
Traccia: Calcola la derivata di
f(x) = (x² + 1)⁵
Identificazione delle funzioni
Applicazione della regola della catena
Risultato: f′(x) = 10x(x² + 1)⁴
Esercizio 3 — Avanzato
Traccia: Calcola la derivata di
f(x) = ln(x² + 1)
Identificazione delle funzioni
Applicazione della regola della catena
Risultato: f′(x) = 2x / (x² + 1)
Il dominio è ℝ (il denominatore x²+1 è sempre positivo), quindi f′(x) è definita per ogni x reale.
Esercizio 4 — Avanzato
Traccia: Calcola la derivata di
f(x) = e^(sin x)
Identificazione delle funzioni
Applicazione della regola della catena
Risultato: f′(x) = cos(x) · e^(sin x)
Notare che e^(sin x) rimane immutata: la derivata di eᵘ è eᵘ, non e^(u−1).
Errori comuni
- Dimenticare la derivata dell'interno: scrivere (x²+1)⁵ → 5(x²+1)⁴ senza moltiplicare per 2x è sbagliato.
- Derivare l'interno due volte: applicare la regola come f′(g(x)) · g′(x) · g′(x). La derivata dell'interno si moltiplica una sola volta.
- Sbagliare la derivata di eˣ: (eᵘ)′ = eᵘ (non u·eᵘ⁻¹ né eᵘ⁻¹).
- Sbagliare la derivata di ln: (ln u)′ = 1/u, non 1/u · u = 1.
Quando usare la regola della catena
Usa la regola della catena ogni volta che una funzione derivabile compare come argomento di un'altra funzione derivabile. Segnali tipici:
- Funzione trigonometrica con argomento diverso da x: sin(2x+1), cos(x²), tan(ln x)
- Potenza con base non monominale: (x²+3x)⁴, (1−x)¹⁰
- Esponenziale con esponente non lineare: e^(x²), 3^(sin x)
- Logaritmo di funzione: ln(x²+1), log(x·eˣ)
Domande frequenti
Cos'è la regola della catena?
La regola della catena afferma che la derivata di una funzione composta f(g(x)) è uguale a f'(g(x)) moltiplicato per g'(x). Si applica ogni volta che una funzione è 'dentro' un'altra funzione.
Come riconosco la funzione esterna e quella interna?
La funzione esterna è quella 'più esterna': ad esempio in sin(3x), sin è la funzione esterna e 3x è la funzione interna. In (x²+1)⁵, la quinta potenza è quella esterna e x²+1 è quella interna. Una regola pratica: la funzione interna è l'argomento di quella esterna.
Posso applicare la regola della catena più di una volta?
Sì. Per funzioni composte 'a tre livelli' come sin(ln(x²+1)), si applica la regola della catena due volte, procedendo dall'esterno verso l'interno.
La regola della catena vale per tutte le funzioni derivabili?
Sì, la regola della catena vale per qualsiasi coppia di funzioni derivabili nel punto considerato. Non ci sono eccezioni per funzioni elementari (sin, cos, exp, ln, potenze).