Integrali per parti — esercizi svolti con passaggi
La formula di integrazione per parti
La formula si applica quando l'integrale è un prodotto di due funzioni di tipi diversi. Si sceglie quale fattore chiamare u (da derivare) e quale dv (da integrare) usando la regola LIATE: scegliere u nell'ordine Logaritmo → Inverso-trig → Algebrico → Trigonometrico → Esponenziale.
Prerequisiti
- Saper calcolare integrali immediati: ∫xⁿ dx, ∫eˣ dx, ∫sin(x) dx, ∫cos(x) dx
- Conoscere le derivate fondamentali (utile per calcolare du)
- Saper risolvere semplici equazioni (necessario per il caso ciclico)
Esercizio 1 — Base
Traccia: Calcola
∫ x · eˣ dx
Scelta di u e dv (regola LIATE)
Applicazione della formula
Risultato: ∫ x · eˣ dx = eˣ(x − 1) + C
Esercizio 2 — Intermedio
Traccia: Calcola
∫ x · sin(x) dx
Scelta di u e dv (regola LIATE: A prima di T)
Applicazione della formula
Risultato: ∫ x · sin(x) dx = −x cos(x) + sin(x) + C
Esercizio 3 — Avanzato
Traccia: Calcola
∫ ln(x) dx
Il logaritmo si integra per parti anche senza un secondo fattore esplicito (il secondo fattore è 1).
Scelta di u e dv (regola LIATE: L ha priorità assoluta)
Applicazione della formula
Risultato: ∫ ln(x) dx = x ln(x) − x + C (dominio: x > 0)
Esercizio 4 — Caso ciclico
Traccia: Calcola
∫ eˣ · cos(x) dx
Questo integrale richiede due applicazioni successive. Chiamo I = ∫eˣ cos(x) dx.
Prima integrazione per parti
Seconda integrazione per parti su ∫eˣ sin(x) dx
Equazione in I
Risultato: ∫ eˣ cos(x) dx = eˣ(sin x + cos x) / 2 + C
Errori comuni
- Scegliere u ed v al contrario: se si prende u = eˣ e dv = x dx nel primo esercizio, l'integrale ∫v du diventa più complesso, non più semplice.
- Dimenticare il segno di v: se dv = sin(x) dx, allora v = −cos(x), non +cos(x).
- Non raccogliere I nel caso ciclico: scrivere l'equazione e portare I a sinistra è il passaggio fondamentale; senza di esso si entra in un ciclo infinito.
- Dimenticare la costante di integrazione C nel risultato finale.
Quando usare l'integrazione per parti
- Il prodotto contiene un polinomio e una funzione eˣ, sin, cos: scegliere u = polinomio
- L'integrale contiene ln(x) o arctan(x) da soli: scegliere u = ln o arctan, dv = dx
- L'integrale è eˣ · sin(x) o eˣ · cos(x): applicare due volte e risolvere l'equazione ciclica
- Non usare quando il secondo fattore è la derivata del primo (usare la sostituzione)
Domande frequenti
Cos'è la regola LIATE?
LIATE è un acronimo mnemonico per scegliere u nell'integrazione per parti: Logaritmo, Inverso-trigonometrico, Algebrico (polinomio), Trigonometrico, Esponenziale. Si sceglie u come il fattore che viene prima nell'elenco. Ad esempio, in ∫x·eˣ dx si sceglierà u=x (Algebrico) e dv=eˣ dx (Esponenziale).
Quando si applica l'integrazione per parti?
Si usa quando l'integrale è un prodotto di due funzioni di tipi diversi (polinomio × esponenziale, polinomio × seno/coseno, logaritmo × costante). Non si usa quando il fattore è la derivata dell'altro (in quel caso si usa la sostituzione).
Cosa succede se l'integrale ricompare nel procedimento?
Questo accade nell'integrale di eˣ·cos(x) o eˣ·sin(x). Il risultato di applicare la formula due volte è un'equazione I = ... − I da cui si ricava I. È un metodo standard chiamato 'integrazione per parti ciclica'.
Posso applicare la formula più di una volta sullo stesso integrale?
Sì, talvolta è necessario (es. ∫x²·eˣ dx richiede due applicazioni). Ogni volta si sceglie lo stesso tipo di u per mantenere coerenza.