Equazioni esponenziali — esercizi svolti con passaggi
Metodi di risoluzione
Le equazioni esponenziali si risolvono principalmente con tre tecniche:
- Base comune: ricondurre entrambi i membri alla stessa base, poi uguagliare gli esponenti
- Sostituzione: porre t = aˣ per trasformare l'equazione in un polinomio in t
- Logaritmo: applicare log_a a entrambi i membri quando non si trova la base comune
Prerequisiti
- Conoscere le potenze di 2, 3, 5 (2³=8, 4=2², 8=2³, 16=2⁴, 27=3³, 25=5², 125=5³)
- Saper risolvere equazioni di secondo grado (utile per la sostituzione)
- Conoscere la definizione di logaritmo: log_a(b)=c ↔ aᶜ=b
Esercizio 1 — Base comune diretta
Traccia: Risolvi
2^(x+1) = 8
Riconduzione alla stessa base
Uguaglianza degli esponenti
Soluzione: S = 2
Esercizio 2 — Riduzione alla stessa base
Traccia: Risolvi
5^(2x−1) = 25
Riconduzione alla stessa base
Uguaglianza degli esponenti
Soluzione: S = 1.5
Esercizio 3 — Sostituzione t = 2ˣ
Traccia: Risolvi
4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0
Riscrittura con la stessa base
Equazione in t
Ritorno a x
Soluzione: S = {1, 2}
Esercizio 4 — Passaggio al logaritmo
Traccia: Risolvi
3ˣ = 5
Le basi 3 e 5 non sono riconducibili alla stessa base: si usa il logaritmo.
Applicazione del logaritmo
Calcolo con il cambio di base
Soluzione: x = ln(5)/ln(3) ≈ 1.465
Errori comuni
- Uguagliare le basi senza avere la stessa base: scrivere 2ˣ = 3ˣ → x=x è sbagliato; basi diverse non si possono uguagliare direttamente.
- Scartare soluzioni di t positive: nella sostituzione, t = aˣ > 0 sempre, quindi si scartano solo le t negative o nulle.
- Confondere 4ˣ con 4·x: 4ˣ è una funzione esponenziale, non un prodotto; (4ˣ) = (2ˣ)² solo perché 4 = 2².
- Dimenticare il dominio della sostituzione: t = 2ˣ > 0 sempre, quindi se l'equazione in t dà t=0 o t<0, tali soluzioni non corrispondono ad alcun x reale.
Domande frequenti
Quando posso uguagliare gli esponenti?
Si possono uguagliare gli esponenti quando entrambi i membri hanno la stessa base positiva diversa da 1: se aˣ = aʸ con a>0, a≠1, allora x=y. Se le basi sono diverse, occorre ricondurle alla stessa base (es. 4=2²) oppure passare al logaritmo.
Come si risolve un'equazione esponenziale con la sostituzione?
Si pone t = aˣ (con a>0, a≠1). L'equazione diventa un polinomio in t. Si risolvono le soluzioni in t e, per quelle positive, si ricava x = log_a(t). Le soluzioni di t negative o nulle si scartano perché aˣ è sempre positivo.
Perché aˣ è sempre positivo?
Per la definizione di esponenziale con base a>0: aˣ = e^(x·ln a). Poiché e^k > 0 per ogni k reale, anche aˣ > 0 per ogni x reale. Quindi un'equazione tipo 2^x = −3 non ha soluzioni reali.
Quando uso il logaritmo per risolvere un'equazione esponenziale?
Quando l'esponente è un'espressione non semplificabile e non si riesce a ottenere la stessa base ai due membri. Applicando log_a a entrambi i membri: log_a(aˣ) = x. Si può usare qualsiasi base per il logaritmo (ln è spesso conveniente).