Studio di funzione esponenziale
Traccia: Studia la funzione
f(x) = x · e⁻ˣ
e disegna il grafico qualitativo.
1. Dominio
L'esponenziale e⁻ˣ è definita per ogni x reale, e x è un polinomio. Il prodotto è definito ovunque.
D = ℝ
2. Simmetrie
f(−x) = (−x) · e^x = −x · e^x
f(x) = x · e^(−x) ≠ f(−x) e ≠ −f(−x)
f(x) = x · e^(−x) ≠ f(−x) e ≠ −f(−x)
La funzione è né pari né dispari.
3. Intersezioni con gli assi
Asse x e asse y (coincidono in questo caso):
f(0) = 0 · e⁰ = 0 → O(0, 0)
f(x) = 0: x · e^(−x) = 0 → x = 0 (poiché e^(−x) ≠ 0)
f(x) = 0: x · e^(−x) = 0 → x = 0 (poiché e^(−x) ≠ 0)
L'unica intersezione con entrambi gli assi è l'origine O(0, 0).
4. Segno
e⁻ˣ > 0 sempre, quindi il segno di f(x) = x·e⁻ˣ dipende solo da x:
- f(x) < 0 per x < 0
- f(x) = 0 per x = 0
- f(x) > 0 per x > 0
5. Limiti e asintoti
Per x → +∞:
lim (x→+∞) x · e^(−x) = lim x/e^x [forma ∞/∞]
Regola di De L'Hôpital: lim 1/e^x = 0
Regola di De L'Hôpital: lim 1/e^x = 0
Asintoto orizzontale per x → +∞: y = 0
Per x → −∞:
lim (x→−∞) x · e^(−x): con x → −∞ e e^(−x) → +∞
prodotto (−∞)(+∞) = −∞
prodotto (−∞)(+∞) = −∞
Nessun asintoto per x → −∞ (f diverge negativamente).
6. Derivata prima
Regola del prodotto: (u·v)′ = u′v + uv′
f′(x) = 1 · e^(−x) + x · (−e^(−x))
= e^(−x) − x · e^(−x)
= e^(−x)(1 − x)
= e^(−x) − x · e^(−x)
= e^(−x)(1 − x)
Poiché e^(−x) > 0 sempre, il segno di f′ coincide con quello di (1−x):
Intervallo1 − xe^(−x)f′(x)f
x < 1+++↗ crescente
x = 10+0estremo
x > 1−+−↘ decrescente
Massimo assoluto:
f(1) = 1 · e^(−1) = 1/e ≈ 0.368
Massimo assoluto in M(1, 1/e)
È il massimo assoluto perché f → 0 per x → +∞ e f → −∞ per x → −∞.
7. Derivata seconda
f′(x) = e^(−x)(1 − x)
f′′(x) = −e^(−x)(1 − x) + e^(−x)(−1)
= e^(−x)[−(1−x) − 1]
= e^(−x)(x − 2)
f′′(x) = −e^(−x)(1 − x) + e^(−x)(−1)
= e^(−x)[−(1−x) − 1]
= e^(−x)(x − 2)
Punto di flesso (f′′ = 0 con cambio di segno):
e^(−x)(x − 2) = 0 → x = 2
- Per x < 2: (x−2) < 0 → f′′(x) < 0 → concava verso il basso
- Per x > 2: (x−2) > 0 → f′′(x) > 0 → concava verso l'alto
f(2) = 2 · e^(−2) = 2/e² ≈ 0.271
Flesso in I(2, 2/e²)
8. Schema riassuntivo
Dominioℝ
SimmetrieNessuna
IntersezioniOrigine O(0, 0)
Segnof<0 per x<0 ; f>0 per x>0
Asintoto orizzontaley = 0 per x → +∞
Limite x → −∞−∞
Monotonia↗ per x<1 ; ↘ per x>1
Massimo assolutoM(1, 1/e) ≈ (1, 0.368)
Concavità↓ per x<2 ; ↑ per x>2
FlessoI(2, 2/e²) ≈ (2, 0.271)
Errori comuni
- Dimenticare la regola del prodotto nella derivata: f′ = (1)·e⁻ˣ + x·(−e⁻ˣ), non semplicemente e⁻ˣ.
- Classificare il massimo come locale: f(1) = 1/e è il massimo assoluto (globale) della funzione.
- Concludere che f → 0 anche per x → −∞: per x → −∞, f(x) → −∞ (non zero).
- Dimenticare il flesso: il punto (2, 2/e²) è un flesso reale con cambio di concavità verificato da f′′.