Equazioni logaritmiche — esercizi svolti con passaggi
Schema operativo per le equazioni logaritmiche
- Imporre le C.E.: ogni argomento di ogni logaritmo deve essere strettamente positivo
- Applicare le proprietà: condensare i logaritmi in un unico logaritmo per membro
- Passare all'esponenziale: log_a(A) = B ↔ A = aᴮ
- Risolvere l'equazione risultante (spesso algebrica o di secondo grado)
- Verificare le C.E.: scartare le soluzioni che non soddisfano le C.E.
Proprietà dei logaritmi utili
Prerequisiti
- Definizione di logaritmo: log_a(b) = c ↔ aᶜ = b (con a > 0, a ≠ 1, b > 0)
- Proprietà dei logaritmi elencate sopra
- Saper risolvere equazioni di secondo grado (utile nell'esercizio 2)
Esercizio 1 — Base
Traccia: Risolvi
log₂(x) = 3
Condizioni di esistenza (C.E.)
Passaggio all'esponenziale
Verifica C.E.
Soluzione: S = 8
Esercizio 2 — Proprietà con due logaritmi
Traccia: Risolvi
log(x) + log(x − 3) = 1
(log in base 10)
Condizioni di esistenza (C.E.)
Condensazione tramite proprietà del prodotto
Passaggio all'esponenziale (base 10)
Verifica C.E. (x > 3)
Soluzione: S = 5
Esercizio 3 — Logaritmi in entrambi i membri
Traccia: Risolvi
log₂(x + 4) − log₂(x − 1) = 3
Condizioni di esistenza (C.E.)
Condensazione tramite proprietà del quoziente
Passaggio all'esponenziale (base 2)
Verifica C.E. (x > 1)
Soluzione: S = 1.7142857142857142
Errori comuni
- Dimenticare le C.E.: impostare x > 0 e poi accettare x = −2 è un errore grave e sempre penalizzato nelle verifiche.
- Sbagliare la C.E. con quoziente: per log(f/g) le C.E. sono f > 0 E g > 0 (non f/g > 0 in generale).
- Applicare log(a+b) = log(a)+log(b): questa proprietà NON esiste. Vale log(a·b) = log(a)+log(b).
- Passare all'esponenziale senza condensare: prima si deve avere un solo logaritmo per membro, poi si passa all'esponenziale.
Domande frequenti
Perché le condizioni di esistenza sono fondamentali?
Il logaritmo è definito solo per argomenti strettamente positivi: log_a(x) esiste solo se x > 0. Se una soluzione algebrica dell'equazione rende negativo o nullo l'argomento di un logaritmo, va scartata. Dimenticare le C.E. è uno degli errori più penalizzati nelle verifiche.
Come si usano le proprietà dei logaritmi per risolvere un'equazione?
Le proprietà principali: log(a·b) = log(a)+log(b); log(a/b) = log(a)−log(b); log(aⁿ) = n·log(a). Si usano per semplificare l'espressione finché non si ottiene un solo logaritmo (o nessuno), poi si applica la definizione per passare all'equivalente esponenziale.
Cosa significa 'verifica' di una soluzione in un'equazione logaritmica?
Dopo aver trovato le soluzioni algebriche, si sostituiscono nell'equazione originale (non semplificata) per verificare due cose: 1) che le C.E. siano soddisfatte (tutti gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi); 2) che i due membri siano effettivamente uguali.
La base del logaritmo cambia il metodo di risoluzione?
No: il metodo (imporre le C.E., applicare le proprietà, passare all'esponenziale) è identico per qualsiasi base a > 0, a ≠ 1. Il cambio di base log_a(x) = log(x)/log(a) permette di convertire tutto in logaritmi naturali o decimali se necessario.