Integrali per sostituzione — esercizi svolti con passaggi
Il metodo di sostituzione (cambio di variabile)
Il metodo di sostituzione trasforma un integrale difficile in uno più semplice tramite il cambio di variabile t = g(x). La procedura è:
- Scegliere t = g(x) (la funzione interna più complicata)
- Calcolare dt = g′(x) dx e ricavare dx = dt / g′(x)
- Sostituire nell'integrale: tutto deve diventare in t
- Calcolare il nuovo integrale (più semplice)
- Tornare alla variabile originale x sostituendo t = g(x)
Prerequisiti
- Saper calcolare integrali immediati: ∫tⁿ dt, ∫eᵗ dt, ∫cos(t) dt, ∫1/t dt
- Conoscere la regola della catena (aiuta a capire perché il metodo funziona)
Esercizio 1 — Base
Traccia: Calcola
∫ 2x · (x² + 1)³ dx
Scelta della sostituzione
Il fattore 2x è la derivata di x²+1, quindi la sostituzione naturale è:
Sostituzione nell'integrale
Integrazione e ritorno a x
Risultato: ∫ 2x(x²+1)³ dx = (x²+1)⁴/4 + C
Esercizio 2 — Intermedio
Traccia: Calcola
∫ cos(x) · sin²(x) dx
Scelta della sostituzione
Il fattore cos(x) è la derivata di sin(x):
Sostituzione e integrazione
Ritorno a x
Risultato: ∫ cos(x) sin²(x) dx = sin³(x)/3 + C
Esercizio 3 — Avanzato
Traccia: Calcola
∫ x / √(x² + 4) dx
Scelta della sostituzione
L'argomento della radice è x²+4; la sua derivata è 2x (proporzionale al numeratore):
Sostituzione nell'integrale
Integrazione
Ritorno a x
Risultato: ∫ x/√(x²+4) dx = √(x²+4) + C
Errori comuni
- Dimenticare di sostituire dx: scrivere ∫t³ senza il dt (o senza esprimere dx in termini di dt) rende l'integrale privo di senso.
- Non tornare alla variabile x: lasciare il risultato in t è sbagliato per gli integrali indefiniti.
- Sbagliare il calcolo di dt: se t = x²+4 allora dt = 2x dx, non dt = x dx. Verificare sempre la derivata.
- Scegliere una sostituzione che non semplifica: se dopo la sostituzione l'integrale è più complicato, provare una scelta diversa.
Quando usare la sostituzione
- Nell'integrale compare una funzione composta f(g(x)) e la sua derivata g′(x) è presente (o proporzionale a un fattore)
- L'integrale ha la forma ∫f(g(x))·g′(x) dx → sostituzione t = g(x)
- Non usare quando i due fattori sono di natura diversa e uno non è la derivata dell'altro (usare le parti in quel caso)
Domande frequenti
Come scelgo la sostituzione giusta?
Cerca una funzione g(x) tale che g'(x) compaia come fattore nell'integrale. Ad esempio, in ∫2x(x²+1)³ dx, noti 2x che è la derivata di x²+1, quindi t = x²+1 è la scelta naturale. Quando non è ovvio, prova a sostituire l'argomento più complicato.
Cosa significa 'cambiare dx in dt'?
Se t = g(x), allora dt = g'(x) dx, ovvero dx = dt/g'(x). Il cambio di variabile trasforma l'integrale in x in un integrale in t. È fondamentale ricordare di sostituire ANCHE dx, non solo la parte che contiene t.
Devo tornare alla variabile originale?
Sì, per gli integrali indefiniti bisogna sempre riscrivere il risultato in termini di x sostituendo t = g(x). Per gli integrali definiti si possono invece cambiare anche gli estremi di integrazione e restare in t.
Integrazione per sostituzione e regola della catena: c'è un collegamento?
Sì: l'integrazione per sostituzione è l'operazione inversa della regola della catena nella derivazione. Se (F(g(x)))' = F'(g(x))·g'(x), allora ∫F'(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)) + C.