Limiti notevoli — esercizi svolti con passaggi
I cinque limiti fondamentali
Questi limiti si presentano frequentemente nei calcoli e nelle verifiche. Memorizzarli permette di risolvere rapidamente limiti in forma 0/0 che altrimenti richiederebbero De l'Hôpital o sviluppi di Taylor.
Prerequisiti
- Conoscere le funzioni sin, cos, eˣ, ln e il loro comportamento intorno a 0
- Saper riconoscere le forme indeterminate 0/0 e ∞/∞
- Saper moltiplicare e dividere un'espressione per una costante o funzione senza cambiarne il valore
Esercizio 1 — sin con argomento multiplo
Traccia: Calcola
lim (x→0) sin(3x) / x
Verifica della forma indeterminata
Riconduzione al limite notevole
Moltiplico e divido per 3 per far apparire la forma standard sin(3x)/(3x):
Applicazione del limite notevole
Risultato: lim (x→0) sin(3x)/x = 3
Esercizio 2 — esponenziale con argomento multiplo
Traccia: Calcola
lim (x→0) (e^(2x) − 1) / x
Verifica della forma
Riconduzione al limite notevole
Applicazione del limite notevole
Risultato: lim (x→0) (e^(2x)−1)/x = 2
Esercizio 3 — combinazione di limiti notevoli
Traccia: Calcola
lim (x→0) (1 − cos x) / (x · sin x)
Verifica della forma
Scomposizione in due fattori notevoli
Applicazione dei limiti notevoli
Risultato: lim (x→0) (1−cos x)/(x·sin x) = 1/2
Errori comuni
- Applicare lim sin(x)/x = 1 con x→∞: il limite notevole vale per x→0, non per x→∞ (per x→∞, sin(x)/x → 0).
- Confondere sin(x)/x con sin(x)/sin(x): il limite notevole richiede x (non sin(x)) al denominatore.
- Dimenticare di moltiplicare per la costante: in sin(3x)/x bisogna moltiplicare per 3 e dividere per 3, ottenendo 3·sin(3x)/(3x) = 3·1 = 3, non sin(3x)/(3x) = 1.
- Usare il grado in radianti: il limite sin(x)/x→1 vale SOLO con x in radianti, non in gradi.
Domande frequenti
Perché lim sin(x)/x = 1 (per x→0)?
Geometricamente: per x piccolo, sin(x) ≈ x (in radianti). La dimostrazione rigorosa usa il teorema del confronto (o squeeze theorem): per 0 < x < π/2 vale sin(x) < x < tan(x), da cui dividendo per sin(x) si ottiene 1 < x/sin(x) < 1/cos(x), e il confronto con 1 = 1/1 porta al risultato.
I limiti notevoli valgono solo per x→0?
I limiti fondamentali (sin/x, (eˣ−1)/x ecc.) sono enunciati per x→0. Quando il limite si presenta con una funzione g(x)→0, si applica il limite notevole a g(x) moltiplicando e dividendo opportunamente per g(x).
Come uso lim sin(x)/x quando l'argomento non è x?
Se l'argomento è g(x)→0, si moltiplica e divide per g(x): lim sin(g(x))/g(x) = 1 e il fattore supplementare viene trattato separatamente. Esempio: lim sin(3x)/x = lim 3·sin(3x)/(3x) = 3·1 = 3.
Qual è la differenza tra lim (eˣ−1)/x e lim eˣ?
Sono due cose diverse. lim_{x→0} eˣ = e⁰ = 1 (sostituzione diretta, non forma indeterminata). lim_{x→0} (eˣ−1)/x è un limite notevole in forma 0/0 che vale 1, e serve per calcolare altri limiti in cui appare eˣ−1 al numeratore.