Analisi matematica · Valore assoluto

Studio di funzione con valore assoluto

Traccia: Studia la funzione

f(x) = |x² − 1|

e disegna il grafico qualitativo.

Premessa: rimuovere il valore assoluto per casi

Prima di qualsiasi passo, riscriviamo f(x) senza il simbolo di valore assoluto analizzando il segno di x²−1:

x² - 1 \geq 0 \leftrightarrow |x| \geq 1 \leftrightarrow x \leq -1 o x \geq 1 x² - 1 < 0 \leftrightarrow |x| < 1 \leftrightarrow -1 < x < 1

f(x) = { x² - 1 se x \leq -1 o x \geq 1 { 1 - x² se -1 < x < 1

1. Dominio

Tutte le operazioni (potenza, sottrazione, valore assoluto) sono definite per ogni reale.

D = ℝ

2. Simmetrie

f(-x) = |(-x)² - 1| = |x² - 1| = f(x)

La funzione è pari: il grafico è simmetrico rispetto all'asse y.

3. Intersezioni con gli assi

Asse x (f(x) = 0):

|x² - 1| = 0 \to x² - 1 = 0 \to x = \pm1

Punti: A₁(−1, 0) e A₂(1, 0)

Asse y (x = 0):

f(0) = |0 - 1| = 1

Punto: B(0, 1)

4. Segno

Il valore assoluto garantisce f(x) ≥ 0 per ogni x.

f(x) ≥ 0 su tutto ℝ. f(x) = 0 solo in x = ±1.

5. Limiti e asintoti

lim (x\to\pm\infty) |x² - 1| = +\infty

La funzione diverge a +∞ agli estremi. Nessun asintoto.

6. Derivata prima

Deriviamo la funzione a tratti. Nei punti x = ±1 la funzione non è derivabile (angoli cuspi):

f'(x) = { 2x se x < -1 o x > 1 (da f(x) = x²-1) { -2x se -1 < x < 1 (da f(x) = 1-x²) { non esiste in x = \pm1

Verifica della non-derivabilità in x=1: limite da destra f′(1⁺) = 2, limite da sinistra f′(1⁻) = −2. Poiché 2 ≠ −2, f non è derivabile in x=1 (idem per x=−1).

Monotonia:

Intervallof′(x)f

x < −12x < 0↘ decrescente

−1 < x < 0−2x > 0↗ crescente

0 < x < 1−2x < 0↘ decrescente

x > 12x > 0↗ crescente

Estremi:

Minimi locali (e globali) in x = −1 e x = 1: f(±1) = 0 (non derivabili — cuspidi)
Massimo locale in x = 0: f(0) = 1 → M(0, 1)

7. Derivata seconda

f''(x) = { 2 se x < -1 o x > 1 { -2 se -1 < x < 1 { non esiste in x = \pm1

Per |x| > 1: f′′(x) = 2 > 0 → concava verso l'alto
Per |x| < 1: f′′(x) = −2 < 0 → concava verso il basso

La concavità cambia in x = ±1, ma in quei punti la funzione non è derivabile. Possiamo comunque parlare di flessi angolosi in x = ±1 (cambio di concavità senza derivata seconda).

8. Schema riassuntivo

Dominioℝ

SimmetriaFunzione pari (asse y)

Intersezioni asse x(−1, 0) e (1, 0)

Intersezione asse y(0, 1)

Segnof(x) ≥ 0 sempre

AsintotiNessuno

Punti di non derivabilitàx = −1 e x = 1 (cuspidi)

Massimo localeM(0, 1)

Minimi globali(−1, 0) e (1, 0)

Concavità↑ per |x|>1 ; ↓ per |x|<1

Errori comuni

Non rimuovere il valore assoluto per casi: derivare |f(x)| direttamente senza dividere in rami porta a errori sistematici.
Dimenticare i punti di non derivabilità: in x = ±1 la derivata non esiste; i calcoli di monotonia devono essere fatti per rami separati.
Confondere massimo e minimo: il valore più basso (0) è ai bordi, il valore intermedio (1) è al centro — il "picco" centrale è un massimo locale.
Dire che ci sono flessi "classici": i punti ±1 sono flessi angolosi, non flessi con derivata seconda nulla.