Analisi matematica · Funzione irrazionale

Studio di funzione irrazionale

Traccia: Studia la funzione

f(x) = √(x² − 1)

e disegna il grafico qualitativo.

1. Dominio

Il radicando deve essere non negativo:

x² - 1 \geq 0 (x-1)(x+1) \geq 0 x \leq -1 o x \geq 1

D = (−∞, −1] ∪ [1, +∞)

2. Simmetrie

f(-x) = \sqrt((-x)² - 1) = \sqrt(x² - 1) = f(x)

La funzione è pari: il grafico è simmetrico rispetto all'asse y.

Nota: il dominio D è simmetrico rispetto all'origine (requisito necessario per la parità). ✓

3. Intersezioni con gli assi

Asse x (f(x) = 0):

\sqrt(x² - 1) = 0 \to x² - 1 = 0 \to x = \pm1

Punti: A₁(−1, 0) e A₂(1, 0) (sono i bordi del dominio)

Asse y (x = 0):

0 ∉ D → nessuna intersezione con l'asse y.

4. Segno

f(x) = √(x² − 1) ≥ 0 per definizione di radice quadrata.

f(x) ≥ 0 su tutto il dominio. f(x) = 0 solo in x = ±1.

5. Limiti e asintoti

Per x → +∞:

lim f(x)/x = lim \sqrt(x²-1)/x = lim \sqrt(1 - 1/x²) = 1 (m = 1) lim [f(x) - x] = lim [\sqrt(x²-1) - x] = lim (x²-1-x²)/(\sqrt(x²-1)+x) = lim (-1)/(\sqrt(x²-1)+x) = 0 (q = 0)

Asintoto obliquo per x → +∞: y = x

Per x → −∞ (per parità):

Per x < 0: f(x)/x = \sqrt(x²-1)/x < 0 \to lim = -1 (m = -1) lim [f(x) - (-x)] = lim [\sqrt(x²-1) + x] = 0 (q = 0)

Asintoto obliquo per x → −∞: y = −x

Coerente con la parità della funzione: entrambi gli asintoti obliqui sono simmetrici rispetto all'asse y.

6. Derivata prima

f(x) = (x² - 1)^(1/2) f'(x) = (1/2)(x² - 1)^(-1/2) \cdot 2x = x / \sqrt(x² - 1)

f′ non esiste in x = ±1 (denominatore nullo; cuspide). La funzione ha cuspidi verticali nei punti di bordo del dominio.

Monotonia:

Intervallox (numeratore)√(x²−1) > 0f′(x)

x < −1−+− ↘ decrescente

x > 1+++ ↗ crescente

Minimi locali (e globali) in x = −1 e x = 1: f(±1) = 0.
Non esistono massimi (la funzione cresce illimitatamente ai bordi dell'intervallo).

7. Derivata seconda

f'(x) = x(x² - 1)^(-1/2) f''(x) = (x² - 1)^(-1/2) + x \cdot (-1/2)(x² - 1)^(-3/2) \cdot 2x = (x² - 1)^(-1/2) - x²(x² - 1)^(-3/2) = [(x² - 1) - x²] / (x² - 1)^(3/2) = -1 / (x² - 1)^(3/2)

Per |x| > 1: (x²−1)^(3/2) > 0 → f′′(x) = −1/(...) < 0 sempre.

Concava verso il basso su tutto il dominio. Nessun flesso.

8. Schema riassuntivo

Dominio(−∞, −1] ∪ [1, +∞)

SimmetriaFunzione pari (asse y)

Intersezioni asse x(−1, 0) e (1, 0)

Intersezione asse yNessuna

Segnof(x) ≥ 0 sempre

Asintoto obliquo x→+∞y = x

Asintoto obliquo x→−∞y = −x

Minimi locali/globali(−1, 0) e (1, 0)

MassimiNessuno

Concavità↓ su tutto il dominio

FlessiNessuno

Errori comuni

Includere x=0 nel dominio: la radice √(0−1) = √(−1) non è reale; il dominio esclude (−1, 1).
Scrivere un solo asintoto obliquo: ci sono due asintoti obliqui, y=x e y=−x, per x→+∞ e x→−∞.
Non verificare la parità del dominio: la parità di f richiede sempre che il dominio sia simmetrico rispetto all'origine.
Dire che f è decrescente su tutto il dominio del ramo sinistro: precisare che è decrescente su (−∞, −1) e crescente su (1, +∞).