Studio di funzione logaritmica
Traccia: Studia la funzione
f(x) = ln((x + 1) / (x − 1))
e disegna il grafico qualitativo.
1. Dominio
L'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo:
Il quoziente è positivo quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno:
Caso 2: x+1 < 0 e x−1 < 0 → x < −1
D = (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
2. Simmetrie
Il dominio è simmetrico rispetto all'origine. Calcoliamo f(−x):
= ln((1−x)/(−(x+1)))
= ln(−(x−1)/(x+1))
= ln((x−1)/(x+1)) ← l'argomento >0 perché anche (x−1)/(x+1) ha il segno di (x+1)/(x−1)
= −ln((x+1)/(x−1))
= −f(x)
La funzione è dispari: il grafico è simmetrico rispetto all'origine.
3. Intersezioni con gli assi
Asse y (x = 0):
0 ∉ D → nessuna intersezione con l'asse y.
Asse x (f(x) = 0):
(x+1)/(x−1) = e⁰ = 1
x + 1 = x − 1
0 = −2 → impossibile
Nessuna intersezione con l'asse x.
Osservazione: per i rami del grafico, f(x) > 0 sul ramo x > 1 e f(x) < 0 sul ramo x < −1 (come verificheremo nel segno).
4. Segno
Per x > 1 (dove x−1 > 0), moltiplichiamo per x−1 senza cambiare segno:
Per x < −1 (dove x−1 < 0), moltiplichiamo e invertiamo:
f(x) > 0 per x > 1 e f(x) < 0 per x < −1
5. Limiti e asintoti
Asintoti verticali:
lim (x→−1⁻) f(x): arg = (0⁻/(−2)) = 0⁺ → f → −∞ (asintoto verticale x = −1)
Asintoti verticali: x = 1 e x = −1
Asintoto orizzontale:
lim (x→−∞) (x+1)/(x−1) = 1 → f → ln(1) = 0
Asintoto orizzontale: y = 0 (in entrambe le direzioni)
6. Derivata prima
Scriviamo f(x) = ln(x+1) − ln(x−1) e deriviamo termine per termine:
= [(x−1) − (x+1)] / [(x+1)(x−1)]
= −2 / (x² − 1)
Per entrambi i rami del dominio, x²−1 > 0 e f′(x) = −2/(x²−1) < 0.
f è strettamente decrescente su ciascun ramo del dominio. Nessun estremo locale.
7. Derivata seconda
f′′(x) = −2 · (−1) · (x² − 1)⁻² · 2x = 4x / (x² − 1)²
Il denominatore (x²−1)² > 0 sempre nel dominio. Il segno di f′′ dipende da x:
- Per x > 1: x > 0 → f′′(x) > 0 → concava verso l'alto
- Per x < −1: x < 0 → f′′(x) < 0 → concava verso il basso
Non ci sono flessi (la funzione è discontinua in x = ±1).
8. Schema riassuntivo
Errori comuni
- Dimenticare che il dominio esclude l'intervallo (−1, 1): 0 ∉ D e quindi non c'è intersezione con l'asse y.
- Concludere che f′ > 0 a causa del segno di (x+1): la derivata è sempre negativa: f′(x) = −2/(x²−1) < 0.
- Ritenere che f sia pari invece che dispari: verificare sempre sia la definizione analitica sia la simmetria del dominio.
- Sbagliare il segno all'asintoto x=−1: per x→−1⁻, arg→0⁺, quindi f→−∞ (non +∞).