Studio di funzione polinomiale

1. Dominio

I polinomi sono definiti per ogni x reale.

D = ℝ

2. Simmetrie

La funzione è né pari né dispari.

Nota: si può verificare che f(x)+f(−x) = 4 ≠ 0 (non pari) e f(x)−f(−x) = 2x³−6x ≠ 0 (non dispari).

3. Intersezioni con gli assi

Asse y (x = 0):

Asse x (f(x) = 0):

Troviamo le radici di x³ − 3x + 2 = 0. Proviamo x=1:

Quindi (x−1) è un fattore. Dividiamo:

Radici: x = 1 (radice doppia, il grafico è tangente all'asse x) e x = −2

Punti: A₁(−2, 0) e A₂(1, 0)

4. Segno

Dalla fattorizzazione f(x) = (x−1)²(x+2), con (x−1)² ≥ 0 sempre:

5. Limiti e asintoti

Il comportamento è quello tipico dei polinomi di grado dispari con coefficiente positivo. Nessun asintoto.

6. Derivata prima

Punti critici:

Monotonia:

Estremi:

Massimo locale in x = −1 (f′ cambia da + a −):
f(−1) = −1 + 3 + 2 = 4 → M(−1, 4)

Minimo locale in x = 1 (f′ cambia da − a +):
f(1) = 1 − 3 + 2 = 0 → m(1, 0) (il grafico è tangente all'asse x, in accordo con la radice doppia)

7. Derivata seconda

Punto di flesso (f′′ = 0 con cambio di segno):

• Per x < 0: f′′(x) < 0 → concava verso il basso
• Per x > 0: f′′(x) > 0 → concava verso l'alto

Flesso in x = 0: f(0) = 2 → I(0, 2) (coincide con l'intersezione sull'asse y)

8. Schema riassuntivo

Errori comuni

• Non fattorizzare prima di trovare le radici: usare la formula di Ruffini (regola di Horner) o la divisione tra polinomi.
• Classificare x=1 come radice semplice: x=1 è una radice doppia — il grafico tocca l'asse x ma non lo attraversa.
• Dimenticare il flesso: f′′(0)=0 e il segno cambia → I(0,2) è un vero flesso.
• Invertire massimo e minimo: il massimo locale (valore più alto) è a sinistra, il minimo è a destra — verificare con la tabella dei segni di f′.