Studio di funzione razionale fratta

1. Dominio

La funzione è una frazione algebrica: il denominatore non può essere zero.

D = ℝ \ 2

2. Simmetrie

Calcoliamo f(−x):

Poiché f(−x) ≠ f(x) e f(−x) ≠ −f(x), la funzione è né pari né dispari. Nessuna simmetria.

3. Intersezioni con gli assi

Asse y (x = 0):

Punto: B(0, 1/2)

Asse x (f(x) = 0):

Entrambi appartengono al dominio. Punti: A₁(−1, 0) e A₂(1, 0)

4. Segno

Studiamo il segno di f(x) = (x−1)(x+1) / (x−2):

5. Limiti e asintoti

Asintoto verticale (x = 2):

Asintoto verticale: x = 2

Comportamento all'infinito — asintoto obliquo:

Dividiamo x²−1 per x−2 con la divisione di polinomi:

Asintoto obliquo: y = x + 2

6. Derivata prima

Dalla forma f(x) = x + 2 + 3/(x−2) deriviamo direttamente:

Punti critici (f′ = 0):

x₁ = 2 − √3 ≈ 0.27    x₂ = 2 + √3 ≈ 3.73

Segno di f′ e monotonia:

Estremi locali:

Massimo locale in x₁ = 2−√3: f(2−√3) = (2−√3)+2+3/(−√3) = 4−√3−√3 = 4−2√3 ≈ 0.54

Minimo locale in x₂ = 2+√3: f(2+√3) = (2+√3)+2+3/(√3) = 4+√3+√3 = 4+2√3 ≈ 7.46

7. Derivata seconda

Concavità:

• Per x < 2: (x−2)³ < 0 → f′′(x) < 0 → concava verso il basso
• Per x > 2: (x−2)³ > 0 → f′′(x) > 0 → concava verso l'alto

Nessun flesso (la discontinuità in x=2 non è nel dominio).

8. Schema riassuntivo

Errori comuni

• Dimenticare il polo: il punto x=2 non è nel dominio e non è un flesso.
• Sbagliare la divisione polinomiale: non scrivere y=x come asintoto; il termine costante +2 è parte dell'asintoto.
• Classificare male gli estremi: il massimo ha valore 4−2√3 ≈ 0.54, non un valore grande.
• Invertire la concavità: verificare il segno del denominatore (x−2)³ con attenzione.