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Tema:  Precálculo

Desarrolla (x + 1)⁵

Aplica el teorema del binomio con exponente entero 5.

Entender el problema

El teorema del binomio permite desarrollar (x + 1)⁵ sin multiplicar cinco factores a mano, usando los coeficientes de la quinta fila del triángulo de Pascal: 1, 5, 10, 10, 5, 1. El resultado es x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1. Como el segundo término es 1, esos coeficientes aparecen directamente, lo que convierte este caso en el más limpio para aprender la técnica.

Resultado x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1

Solución

  1. Binomio (1x + 1)⁵
  2. Term k = 0 C(5,0)·(1x)⁵·(1)⁰ = 1x⁵
  3. Term k = 1 C(5,1)·(1x)⁴·(1)¹ = 5x⁴
  4. Term k = 2 C(5,2)·(1x)³·(1)² = 10x³
  5. Term k = 3 C(5,3)·(1x)²·(1)³ = 10x²
  6. Term k = 4 C(5,4)·(1x)¹·(1)⁴ = 5x
  7. Term k = 5 C(5,5)·(1x)⁰·(1)⁵ = 1
  8. Desarrollo x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1

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Términos clave

Teorema del binomio Una fórmula que desarrolla (a + b)ⁿ como suma de términos con coeficientes binomiales. Combinación Una selección sin orden de r objetos elegidos de n.

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