Problemas de matemáticas resueltos
92 problemas con solución completa paso a paso. Cada problema se resuelve con el mismo motor que mueve las herramientas interactivas — cada paso se genera, no se escribe a mano.
Álgebra
Resuelve x² − 3x + 2 = 0 Resuelve una ecuación cuadrática calculando el discriminante y aplicando la fórmula general. Resuelve 2x² + 5x − 3 = 0 Resuelve una ecuación cuadrática con coeficiente principal distinto de 1. Resuelve x² + 4 = 0 Resuelve una ecuación cuadrática que tiene raíces complejas conjugadas. Resuelve 3x + 7 = 22 Aísla la incógnita en una ecuación lineal paso a paso. Resuelve 2x − 9 = 5 Resuelve una ecuación lineal con resta en el primer miembro. Halla la pendiente de la recta por (2, 3) y (5, 9) Calcula la pendiente, la ordenada y la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Distancia entre (1, 2) y (4, 6) Usa la fórmula de la distancia para hallar la longitud entre dos puntos. Halla el término 20 de 3, 7, 11, 15, … Usa la fórmula del término n-ésimo de una progresión aritmética con primer término 3 y diferencia 4. Suma de los primeros 8 términos de 2, 6, 18, 54, … Usa la fórmula de la suma parcial para una progresión geométrica de razón 3. Calcula log₂(64) Usa la fórmula del cambio de base para calcular un logaritmo en base 2. Factoriza x² − 5x + 6 Descompón un trinomio cuadrático en el producto de dos binomios. Resuelve 2x + 3 < 7 Resuelve una desigualdad lineal y escribe la solución como intervalo. Resuelve x² − 5x + 6 ≤ 0 Resuelve una desigualdad cuadrática usando sus raíces y una tabla de signos. Simplifica (x + 1)(x − 2) + x² Desarrolla el producto y agrupa los términos semejantes. Fracciones parciales de 1/(x² − 5x + 6) Descompón una función racional en una suma de fracciones más simples.
Trigonometría
Calcula sin(30°) Convierte el ángulo a radianes y calcula el seno. Calcula cos(60°) Convierte el ángulo a radianes y calcula el coseno. Calcula tan(45°) Calcula la tangente de un ángulo notable. Resuelve el triángulo rectángulo con catetos 5 y 12 Halla la hipotenusa con el teorema de Pitágoras y los dos ángulos agudos con la arcotangente. Halla la hipotenusa con catetos 6 y 8 Aplica a² + b² = c² para hallar la hipotenusa que falta. Halla el cateto que falta con c = 13 y un cateto 5 Reordena a² + b² = c² para despejar el cateto desconocido. Teorema del coseno: a = 7, b = 10, C = 60° Usa el teorema del coseno para hallar el tercer lado y los otros dos ángulos. Teorema del seno: A = 30°, B = 60°, a = 10 Halla el tercer ángulo y los dos lados restantes con el teorema del seno. Convierte 180° a radianes Convierte grados a radianes y halla el ángulo de referencia y el cuadrante. Convierte π/3 rad a grados Convierte una medida en radianes a grados e indica el ángulo de referencia. Resuelve sin(x) = 1/2 Halla todas las soluciones de una ecuación trigonométrica, con la solución general. Resuelve tan(x) = 1 Resuelve una ecuación con la tangente y expresa la solución general. Convierte (3, 4) a coordenadas polares Halla el radio y el ángulo de un punto dado en coordenadas cartesianas.
Cálculo
Halla la derivada de x³ Aplica la regla de la potencia para derivar un único término. Halla la derivada de 3x² − 5x + 2 Deriva un polinomio cuadrático término a término. Calcula ∫ (2x + 3) dx Aplica la regla de la potencia inversa para calcular una integral indefinida. Calcula ∫₀³ x² dx Calcula una integral definida con el teorema fundamental del cálculo. Halla la derivada de eˣ en x = 0 Usa una derivada numérica para confirmar que la derivada de la exponencial en 0 es 1. Calcula lim x→0 sin(x)/x El límite clásico que sostiene la derivada de la función seno. Calcula lim x→1 (x² − 1)/(x − 1) Una discontinuidad evitable — factoriza y simplifica, o muestrea por ambos lados. Halla la recta tangente a y = x² en x = 3 Evalúa f(a) y f'(a) y monta la ecuación de la recta tangente. Calcula ∫₀^π sin(x) dx Aproxima el área bajo un arco positivo completo de la curva del seno. Halla la derivada de sin(x)·x² en x = 1 Usa una derivada numérica por diferencias centrales sobre un producto trigonométrico-polinómico. Deriva x³ − 3x Aplica la regla de la potencia término a término para hallar la derivada. Integra 2x + 1 Halla la integral indefinida con la regla inversa de la potencia. Recta tangente a y = x² en x = 2 Halla la ecuación de la recta tangente en un punto dado.
Precálculo
Desarrolla (x + 1)⁵ Aplica el teorema del binomio con exponente entero 5. Desarrolla (2x − 1)³ Aplica el teorema del binomio con coeficiente principal distinto de 1. Calcula las permutaciones 7P3 Cuenta el número de disposiciones ordenadas de 3 elementos elegidos de 7. Calcula las combinaciones 10C4 Cuenta el número de selecciones sin orden de 4 elementos de 10. Multiplica (3 + 2i)·(1 − i) Usa el método FOIL y i² = −1 para multiplicar dos números complejos. Divide (1 + i) / (1 − i) Multiplica numerador y denominador por el conjugado para dividir dos números complejos. Divide (x³ − 1) entre (x − 1) La división de polinomios muestra que x − 1 es un factor de x³ − 1. Resuelve 2ˣ = 32 Usa logaritmos para aislar la incógnita en el exponente. Resuelve 3ˣ = 27 Una ecuación exponencial que se resuelve con un exponente entero. Desarrolla (3x + 2)⁴ Aplica el teorema del binomio con ambos coeficientes mayores que 1. Halla la inversa de f(x) = 2x + 3 Intercambia x e y y despeja para hallar la función inversa. Compón f(x) = x² y g(x) = x + 1 Construye la composición (f ∘ g)(x) por sustitución. Ecuación de una circunferencia de centro (0, 0) y radio 5 Escribe la ecuación estándar y desarrollada de una circunferencia. Propiedades de la elipse x²/25 + y²/9 = 1 Halla el centro, los focos y la excentricidad de una elipse.
Estadística
Media, mediana y moda de {2, 4, 4, 6, 8} Calcula las medidas de tendencia central de un pequeño conjunto de datos con un valor repetido. Desviación típica de {1, 2, 3, 4, 5} Halla las desviaciones típicas poblacional y muestral de un conjunto de datos uniforme. Puntuación z para x = 85, μ = 70, σ = 10 Estandariza un único valor a unidades de desviación típica. P(X ≤ 115) para el CI con μ = 100, σ = 15 Halla la probabilidad acumulada para una distribución normal que modela el cociente intelectual. Intervalo de confianza al 95% — x̄ = 50, s = 8, n = 40 Construye un intervalo de confianza al 95% alrededor de la media muestral. Regresión lineal para (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 6) Ajusta la recta de mínimos cuadrados y reporta el coeficiente de correlación r. Puntuación z para x = 72, μ = 80, σ = 4 Una puntuación z negativa sitúa el valor dos desviaciones típicas por debajo de la media. Media de {10, 20, 30, 40, 50} Calcula la media de un conjunto de datos equiespaciado. Intervalo de confianza al 99% — x̄ = 120, s = 15, n = 100 Una muestra mayor y un nivel de confianza más alto — ¿qué cambia? P(Z ≤ 1,96) para la normal estándar El valor crítico clásico que deja aproximadamente el 97,5% de la masa de la normal estándar a la izquierda. Probabilidad binomial: P(X = 5) para n = 10, p = 0,5 Calcula una probabilidad puntual binomial y las colas acumuladas. Probabilidad de Poisson: P(X = 2) con λ = 3 Calcula una probabilidad puntual de Poisson y sus colas acumuladas. Teorema de Bayes: probabilidad de enfermedad dado un test positivo Actualiza una incidencia baja con un test positivo usando el teorema de Bayes. Prueba z para una proporción: p̂ = 0,58, n = 200 Contrasta una proporción muestral con p₀ = 0,5 mediante una prueba z bilateral.
Álgebra lineal
Determinante de [[3, 1], [4, 2]] Aplica la fórmula 2×2 det = ad − bc. Determinante de la matriz 3×3 [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]] Usa el desarrollo por cofactores a lo largo de la primera fila. Multiplica [[1, 2], [3, 4]] · [[5, 6], [7, 8]] Combina filas de A con columnas de B para calcular el producto. Inversa de [[4, 7], [2, 6]] Comprueba que el determinante no sea cero y aplica la fórmula 2×2 de la inversa. Inversa de [[2, 1, 1], [1, 3, 2], [1, 0, 0]] Usa la eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz ampliada [A | I]. Suma [[1, 2], [3, 4]] + [[5, 6], [7, 8]] Suma dos matrices del mismo tamaño elemento a elemento. Producto escalar (1, 2, 3) · (4, 5, 6) Multiplica las componentes correspondientes y suma para hallar el producto escalar. Producto vectorial (1, 0, 0) × (0, 1, 0) Dos vectores de la base canónica dan el tercero mediante la regla de la mano derecha. Módulo del vector (3, 4) El teorema de Pitágoras da la longitud de un vector 2D. Ángulo entre (1, 0) y (1, 1) Usa el producto escalar para hallar el ángulo entre dos vectores 2D. Transpuesta de [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] Intercambia las filas y columnas de una matriz 2×3. Valores y vectores propios de [[4, 1], [2, 3]] Halla los valores propios del polinomio característico y un vector propio para cada uno. Resuelve 2x + y = 5, x + 3y = 10 Resuelve un sistema lineal 2×2 con eliminación de Gauss-Jordan. Proyecta (3, 4) sobre (1, 0) Halla la proyección vectorial y la componente perpendicular.
Matemáticas finitas
Interés compuesto sobre $1000 al 5% durante 10 años Halla el valor futuro con capitalización mensual. Interés simple sobre $1000 al 5% durante 3 años Halla el interés y el monto final con la fórmula I = Prt. Pago mensual de una hipoteca de $200 000 al 5% durante 30 años Halla el pago constante y el interés total de un préstamo amortizado. Estado estacionario de una cadena de Markov de dos estados Itera la distribución y resuelve para el vector estacionario. Maximiza 5x + 4y con restricciones lineales Resuelve un programa lineal de dos variables por el método gráfico. Tabla de verdad: (p → q) ↔ (¬q → ¬p) Construye una tabla de verdad para verificar que un condicional y su contrarrecíproco son equivalentes.