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Sujet:  Pré-calcul

Développez (x + 1)⁵

Appliquez la formule du binôme avec un exposant entier 5.

Comprendre le problème

Le développement de (x + 1)⁵ s'obtient par la formule du binôme de Newton, dont les coefficients sont ceux de la cinquième ligne du triangle de Pascal : 1, 5, 10, 10, 5, 1. On aboutit à x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1. Comme le second terme vaut 1, seules les puissances de x apparaissent, ce qui rend ce cas particulièrement lisible pour mémoriser la structure symétrique des coefficients binomiaux.

Résultat x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1

Solution

  1. Binôme (1x + 1)⁵
  2. Term k = 0 C(5,0)·(1x)⁵·(1)⁰ = 1x⁵
  3. Term k = 1 C(5,1)·(1x)⁴·(1)¹ = 5x⁴
  4. Term k = 2 C(5,2)·(1x)³·(1)² = 10x³
  5. Term k = 3 C(5,3)·(1x)²·(1)³ = 10x²
  6. Term k = 4 C(5,4)·(1x)¹·(1)⁴ = 5x
  7. Term k = 5 C(5,5)·(1x)⁰·(1)⁵ = 1
  8. Développement x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1

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Termes clés

Formule du binôme Une formule qui développe (a + b)ⁿ en une somme de termes à coefficients binomiaux. Combinaison Une sélection non ordonnée de r objets choisis parmi n.

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