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Tema:  Álgebra lineal

Proyecta (3, 4) sobre (1, 0)

Halla la proyección vectorial y la componente perpendicular.

Entender el problema

Proyectar un vector sobre otro descompone el primero en una parte paralela al segundo y otra perpendicular. La proyección se calcula con (u·v/‖v‖²)·v; al proyectar (3, 4) sobre (1, 0) el resultado es (3, 0), es decir, su sombra sobre el eje horizontal, y la componente perpendicular es (0, 4). Esta descomposición es la idea central detrás de la regresión y del método de Gram-Schmidt en álgebra lineal.

Resultado proj_b(a) = (3, 0)

Solución

  1. Vectores a = (3, 4), b = (1, 0)
  2. Producto escalar a · b = 3
  3. Módulo al cuadrado |b|² = 1
  4. Proyección escalar comp_b(a) = (a · b)/|b| = 3
  5. Coeficiente (a · b)/|b|² = 3
  6. Proyección sobre b proj_b(a) = (3, 0)
  7. Componente perpendicular a − proj_b(a) = (0, 4)

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