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Sujet:  Algèbre linéaire

Projetez (3, 4) sur (1, 0)

Trouvez la projection vectorielle et la composante perpendiculaire.

Comprendre le problème

Projeter le vecteur (3, 4) sur (1, 0) revient à en récupérer la seule composante horizontale. La formule de projection donne (u·v/‖v‖²)·v = (3/1)·(1, 0) = (3, 0). La composante perpendiculaire restante est alors (0, 4). Cette décomposition en une partie parallèle et une partie orthogonale est au cœur de nombreuses applications : décomposition de forces en physique, méthode des moindres carrés, ou orthogonalisation de bases vectorielles.

Résultat proj_b(a) = (3, 0)

Solution

  1. Vecteurs a = (3, 4), b = (1, 0)
  2. Produit scalaire a · b = 3
  3. Norme au carré |b|² = 1
  4. Projection scalaire comp_b(a) = (a · b)/|b| = 3
  5. Coefficient (a · b)/|b|² = 3
  6. Projection sur b proj_b(a) = (3, 0)
  7. Composante perpendiculaire a − proj_b(a) = (0, 4)

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