Analysez f(x) = x³ − 3x
Trouvez les zéros, les extrema et la monotonie d'une fonction cubique.
Comprendre le problème
Étudier f(x) = x³ − 3x commence par ses zéros : en factorisant x(x² − 3), on trouve 0 et ±√3. La dérivée f'(x) = 3x² − 3 s'annule en x = ±1, repérant un maximum local en (−1, 2) et un minimum en (1, −2). La fonction croît, décroît entre ces extrema, puis croît de nouveau. Cette fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine, ce qui allège l'analyse.
Solution
- Fonction f(x) = x^3 - 3*x
- Domaine analysé [-3, 3]
- Zéros -1.73205, 0, 1.73205
- Ordonnée à l'origine (0, 0)
- Extrema locaux max at (-1, 2); min at (1, -2)
- Monotonie (-3, -1) ↑, (-1, 1) ↓, (1, 3) ↑
- Asymptotes verticales candidates None detected.
- Comportement aux bornes f(-3) = -18, f(3) = 18
- Image sur l'intervalle f ∈ [-18, 18]
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