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Sujet:  Pré-calcul

Développez (2x − 1)³

Appliquez la formule du binôme avec un coefficient dominant différent de 1.

Comprendre le problème

Développer (2x − 1)³ demande de la vigilance sur deux points : la puissance du coefficient 2 et l'alternance des signes due au terme négatif. Le binôme de Newton avec les coefficients 1, 3, 3, 1 donne 8x³ − 12x² + 6x − 1. Il faut bien élever 2x au cube, soit 8x³ et non 2x³ : c'est l'oubli d'élever aussi le coefficient à la puissance qui cause le plus d'erreurs.

Résultat 8x³ − 12x² + 6x − 1

Solution

  1. Binôme (2x − 1)³
  2. Term k = 0 C(3,0)·(2x)³·(-1)⁰ = 8x³
  3. Term k = 1 C(3,1)·(2x)²·(-1)¹ = -12x²
  4. Term k = 2 C(3,2)·(2x)¹·(-1)² = 6x
  5. Term k = 3 C(3,3)·(2x)⁰·(-1)³ = -1
  6. Développement 8x³ − 12x² + 6x − 1

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Termes clés

Formule du binôme Une formule qui développe (a + b)ⁿ en une somme de termes à coefficients binomiaux. Combinaison Une sélection non ordonnée de r objets choisis parmi n.

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