Fractions partielles de 1/(x² − 5x + 6)
Décomposez une fonction rationnelle en une somme de fractions plus simples.
Comprendre le problème
La décomposition en éléments simples réécrit une fraction rationnelle comme somme de fractions plus élémentaires. Le dénominateur se factorise en (x − 2)(x − 3), et l'on cherche A/(x − 2) + B/(x − 3). En identifiant, on trouve A = −1 et B = 1. Cette technique est précieuse en intégration, car chaque fraction simple s'intègre en logarithme, alors que la fraction initiale serait beaucoup plus difficile à primitiver directement.
Solution
- Numérateur 1
- Dénominateur x² − 5x + 6
- Discriminant du dénominateur Δ = 1
- Racines du dénominateur x₁ = 3, x₂ = 2
- Coefficients A = P(3)/(a·(x₁−x₂)) = 1, B = P(2)/(a·(x₂−x₁)) = -1
- Décomposition 1 / (x² − 5x + 6) = 1 / (x − 3) − 1 / (x − 2)
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