Théorème de Bayes : probabilité de maladie après un test positif
Mettez à jour une faible prévalence avec un test positif via le théorème de Bayes.
Comprendre le problème
Le théorème de Bayes actualise une probabilité à la lumière d'une nouvelle information. Face à un test positif pour une maladie rare, l'intuition surestime le risque réel : même un test fiable produit beaucoup de faux positifs quand la maladie est peu répandue. En pondérant la sensibilité du test par la faible prévalence de départ, Bayes révèle souvent une probabilité d'être malade étonnamment basse. C'est le célèbre piège du taux de base.
Solution
- Données P(A) = 0.01, P(B | A) = 0.99, P(B | A') = 0.05
- Complémentaire P(A') = 1 − P(A) = 0.99
- Probabilité totale de B P(B) = P(B | A)·P(A) + P(B | A')·P(A') = 0.99·0.01 + 0.05·0.99 = 0.0594
- Théorème de Bayes P(A | B) = P(B | A)·P(A) / P(B) = (0.99·0.01)/0.0594 = 0.166667
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