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Sujet:  Algèbre linéaire

Valeurs et vecteurs propres de [[4, 1], [2, 3]]

Trouvez les valeurs propres à partir du polynôme caractéristique et un vecteur propre pour chacune.

Comprendre le problème

Les valeurs propres s'obtiennent en annulant le polynôme caractéristique det(A − λI) = 0, soit λ² − 7λ + 10 = 0, dont les racines sont 2 et 5. À chaque valeur propre correspond un vecteur propre, direction que la matrice se contente d'étirer sans la faire tourner. Ces directions privilégiées simplifient l'étude des transformations linéaires et interviennent en physique comme en analyse de données.

Résultat λ1 = 5, λ2 = 2; λ=5 → v=(0.707107, 0.707107); λ=2 → v=(-0.447214, 0.894427)

Solution

  1. Matrice A 2×2 [[4, 1], [2, 3]]
  2. Polynôme caractéristique det(A − λI) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − 7·λ + 10
  3. Valeurs propres λ1 = 5, λ2 = 2
  4. Vecteur propre λ = 5: v = (0.707107, 0.707107)
  5. Vecteur propre λ = 2: v = (-0.447214, 0.894427)

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